Lab 3 - FIR滤波器设计 (修订版)

理论实验目的

理解 FIR 滤波器的基本原理和特性
掌握线性相位滤波器的设计方法和四种类型
学习窗函数法设计 FIR 滤波器
使用 MATLAB 函数（fir1、freqz等）进行滤波器设计和分析
应用 FIR 滤波器进行实际信号处理（语音信号滤波）

📂 实验数据文件：

phdist.mat - 包含三组滤波器系数 (a1,b1,a2,b2,a3,b3) 和加噪语音 (xnoise)
orig.mat - 包含原始语音信号 (x) 和采样率 (Fs=8000Hz)

理论理论基础

1. FIR滤波器基本原理

FIR滤波器的差分方程为：

$$y[n] = \sum_{k=0}^{M} b_k \cdot x[n-k] = b_0 x[n] + b_1 x[n-1] + \cdots + b_M x[n-M]$$

其中 $M$ 是滤波器阶数，$N = M+1$ 是滤波器长度（系数个数）。

2. 线性相位条件

线性相位FIR滤波器的相位响应为 $\phi(\omega) = -\tau \omega$，其中 $\tau = M/2$ 是群延迟（常数）。实现线性相位需要脉冲响应满足对称性：

类型	N	M	对称性	$H(e^{j\omega})$ 在 $\omega=0$	$H(e^{j\omega})$ 在 $\omega=\pi$
Type I	奇数	偶数	$h[n]=h[M-n]$	任意	任意
Type II	偶数	奇数	$h[n]=h[M-n]$	任意	= 0
Type III	奇数	偶数	$h[n]=-h[M-n]$	= 0	= 0
Type IV	偶数	奇数	$h[n]=-h[M-n]$	= 0	任意

3. 窗函数法设计步骤

确定理想滤波器的频率响应 $H_d(e^{j\omega})$
计算理想脉冲响应 $h_d[n]$（通常是无限长的非因果序列）
选择窗函数 $w[n]$ 并确定长度 $N$
计算实际脉冲响应 $h[n] = h_d[n] \cdot w[n]$

4. 常用窗函数特性

窗函数	MATLAB函数	主瓣宽度	旁瓣衰减	过渡带
矩形窗	`rectwin(N)`	$4\pi/N$	-13 dB	最窄
汉宁窗	`hann(N)`	$8\pi/N$	-32 dB	中等
汉明窗	`hamming(N)`	$8\pi/N$	-43 dB	中等
布莱克曼窗	`blackman(N)`	$12\pi/N$	-58 dB	最宽
凯泽窗	`kaiser(N,β)`	可调	可调	可调

⚠️ 窗函数选择准则

过渡带窄 → 选择汉宁窗或汉明窗
阻带衰减 > 50 dB → 选择布莱克曼窗
灵活调节 → 使用凯泽窗
避免使用矩形窗（振铃效应严重）

实践练习一：汉明窗FIR低通滤波器设计与信号滤波

任务

设计一个 31 阶（N=32）的汉明窗 FIR 低通滤波器，截止频率 $\omega_c = \pi/4$，并对双频信号进行滤波。

任务一：设计滤波器

使用 fir1(M, Wn) 函数设计滤波器，其中 $M=31$，$Wn = \omega_c/\pi = 0.25$。

M = 31;                 % 滤波器阶数
Wn = 0.25;              % 归一化截止频率
h = fir1(M, Wn);        % 设计汉明窗FIR滤波器
                        

任务二：分析频率响应

使用 freqz 计算 1024 点频率响应，绘制幅度响应（dB）和相位响应。

观察通带平坦性和阻带衰减
验证相位是否为线性（斜率 $= -M/2 = -15.5$）

任务三：双音信号滤波

生成输入信号 $x[n] = \cos(\omega_1 n) + \cos(\omega_2 n)$，其中 $\omega_1 = \pi/3$（阻带），$\omega_2 = \pi/6$（通带），$n = 0, 1, \ldots, 127$。

使用 y = conv(h, x) 进行滤波
计算 x 和 y 的 1024 点 FFT
绘制频谱对比图，验证哪个频率成分被滤除

📊 思考题

$\omega_1 = \pi/3 > \omega_c = \pi/4$，位于阻带，应被滤除
$\omega_2 = \pi/6 < \omega_c = \pi/4$，位于通带，应保留
如果要保留 $\omega_1$ 而滤除 $\omega_2$，应该设计什么类型的滤波器？

预期图像

幅度响应 (dB)

滤波后频谱

实践练习二：语音信号滤波综合实验

背景

本题旨在检验你对 FIR 滤波器设计和应用的综合理解。我们将对实际语音信号进行滤波处理，并分析滤波器的幅度和相位特性对语音质量的影响。

💡 知识提示：在语音信号处理中，相位失真往往比幅度失真更容易被人耳察觉。这就是为什么在语音处理应用中，线性相位FIR滤波器往往比非线性相位IIR滤波器更受青睐。

实验数据：给定 phdist.mat 文件，包含三组滤波器系数（a1, a2, a3, b1, b2, b3）和一个加噪语音信号 xnoise。另有 orig.mat 文件包含原始语音信号 x 和采样率 Fs。

任务一：幅度响应对比

使用 freqz 计算三个滤波器的 1024 点频率响应，在同一张图上绘制幅度谱（dB）。

思考：从幅度特性角度，哪两个滤波器可能得到相似的滤波结果？

任务二：相位响应对比

在同一张图上绘制三个滤波器的相位响应。使用 unwrap(angle(H)) 避免相位折叠。

思考：从相位特性角度，哪两个滤波器可能得到相似的滤波结果？

任务三：主观听觉测试

用三个滤波器分别对原始语音 x 进行滤波，使用 soundsc 播放并对比：

语音内容是否仍然可理解？
哪两个滤波后的语音听起来最相似？
这个结果与任务一和任务二的分析是否一致？

y1 = filter(b1, a1, x);   % 滤波器1
y2 = filter(b2, a2, x);   % 滤波器2
y3 = filter(b3, a3, x);   % 滤波器3
soundsc(y1, Fs);         % 播放滤波后语音
                        

任务四：噪声分析与去噪

播放 xnoise，对比原始信号 x。对两者分别做 8192 点 FFT，绘制频谱。

你能从频谱中识别出噪声的特征吗？
用三个滤波器分别对 xnoise 去噪，哪个滤波器效果最好？

📊 综合思考题

滤波器的幅度特性和相位特性哪个对语音质量更重要？为什么？
如果两个滤波器的幅度响应完全相同，但相位响应不同，滤波后的语音会有什么差别？
为什么线性相位在语音处理中如此重要？举例说明。

实践练习三：窗函数长度对滤波器性能的影响

任务

分析窗函数长度对矩形窗频谱和FIR滤波器性能的影响。

任务一：矩形窗频谱分析

生成两种长度的矩形窗（$N_1=31$, $N_2=121$），计算 4096 点 FFT 频谱并对比。

验证主瓣宽度公式：$\Delta\omega = 4\pi/N$
观察第一旁瓣相对主瓣的衰减（应为 -13.3 dB，与 N 无关）

矩形窗的频谱（Dirichlet核）：

$$W(e^{j\omega}) = \frac{\sin(\omega N/2)}{\sin(\omega/2)}$$

任务二：FIR滤波器性能对比

设计两种阶数的汉明窗FIR低通滤波器（$M_1=30$, $M_2=120$），截止频率 $\omega_c=0.4\pi$。

绘制幅度响应对比图
测量过渡带宽度（-3dB 到 -40dB）
验证过渡带宽度比值是否接近阶数比值（4:1）

💡 理论预测：汉明窗的过渡带宽度约为 $8\pi/N$，阶数增加4倍，过渡带宽度应减小为原来的1/4。

任务三：计算复杂度分析

假设采样率 $F_s = 48000$ Hz，CPU时钟 $f_{cpu} = 100$ MHz。分析实时处理能力：

每样本需要的 MAC（乘累加）操作数：$M+1$
采样周期：$T_s = 1/F_s$
CPU利用率：$(M+1) \cdot T_{clk} / T_s$
判断两种阶数的滤波器是否能实时处理

📊 设计权衡总结

阶数增加的优势	阶数增加的代价
过渡带更窄	计算量增加
更接近理想滤波器	群延迟增加
通带更平坦	存储需求增加

实践练习四：窗函数性能对比与优化设计

任务一：不同窗函数对比实验

设计 4 个 31 阶低通滤波器，截止频率 $\omega_c = 0.4\pi$，分别使用矩形窗、汉宁窗、汉明窗和布莱克曼窗。

在同一图上绘制所有滤波器的幅度响应（dB）
测量并记录各窗函数的阻带衰减
观察过渡带宽度的差异

任务二：凯泽窗的参数优化

凯泽窗通过 $\beta$ 参数在过渡带宽度和阻带衰减之间权衡。使用 $\beta = 3, 5, 7, 9$ 设计滤波器，观察性能变化。

for beta = [3, 5, 7, 9]
    h = fir1(31, 0.4, kaiser(32, beta));
    [H, w] = freqz(h, 1, 1024);
    plot(w/pi, 20*log10(abs(H))); hold on;
end
                        

任务三：滤波器阶数的影响

固定使用汉明窗，改变滤波器阶数 $M = 15, 31, 63, 127$，观察频率响应变化。

任务四：实际应用设计挑战

设计要求：

通带边界：$\omega_p = 0.3\pi$
阻带边界：$\omega_s = 0.5\pi$
通带波纹：$\delta_p \leq 0.01$（约 0.086 dB）
阻带衰减：$\delta_s \leq 0.001$（约 -60 dB）

设计步骤：

根据阻带衰减要求选择合适的窗函数（提示：需要 -60 dB，应选布莱克曼窗）
估算阶数：$N \approx \frac{A_s - 8}{2.285 \Delta\omega}$
设计滤波器并验证是否满足规格

预期图像

不同窗函数的幅度响应对比

📊 综合分析

在实际应用中，如何根据设计要求选择合适的窗函数？
如果要求阻带衰减至少 -60 dB，应该选择哪种窗函数？
如果计算资源有限但又需要较好的阻带衰减，应该如何权衡？
线性相位特性在什么应用场景下最重要？