理论实验目的
在本实验中，我们将使用 MATLAB 分析 LTI（线性时不变）系统。本实验的主要目的是：
- 学习如何用差分方程描述一个离散时间系统
- 掌握通过MATLAB画出系统函数对应的零极点图
- 通过零极点分布分析系统的稳定性
- 了解差分方程系数与 MATLAB 中
filter函数参数的对应关系
系统的零极点分布直接决定了系统的时域特性（如稳定性、因果性）和频域特性（如频率响应）。掌握这一点对于滤波器设计至关重要。
理论理论基础
1. 差分方程 (Difference Equation)
LTI 系统可以用差分方程表示，如下所示：
$$\sum_{k=0}^{K} a_k y[n-k] = \sum_{m=0}^{M} b_m x[n-m]$$
其中 $x[n]$ 是系统输入，$y[n]$ 是系统输出。
MATLAB 实现 (filter 函数)：
在 MATLAB 中，如果 x 是输入向量，filter(b, a, x) 指令返回满足以下差分方程的结果：
$$\sum_{k=0}^{K} a[k+1]y[n-k] = \sum_{m=0}^{M} b[m+1]x[n-m]$$
MATLAB 数组索引从 1 开始，而差分方程通常从 0 开始。因此：
a[1]对应 $a_0$（通常为 $y[n]$ 的系数，常归一化为 1）a[2]对应 $a_1$（$y[n-1]$ 的系数）- 例如方程 $y[n] + 2y[n-1] = x[n]$，则
a = [1, 2]
2. 双边 Z 变换与系统函数
离散时间信号 $x[n]$ 的双边 Z 变换定义为：
$$X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]z^{-n}$$
对于满足线性常系数差分方程的 LTI 系统，其系统函数 $H(z)$ 为有理函数：
$$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{N(z)}{D(z)}$$
$N(z)$ 的根称为零点 (Zeros)，$D(z)$ 的根称为极点 (Poles)。
3. 零极点画图工具 (dpzplot)
通常系统函数写成 $z^{-1}$ 的多项式形式。如果分子分母阶次不同，MATLAB roots 函数可能会忽略 $z=0$ 处的根。为了正确画出零极点图，我们需要处理系数向量长度。以下是一个自定义函数 dpzplot：
function dpzplot(b,a)
% dpzplot(b,a) 绘制离散时间系统函数的零极点图
la = length(a);
lb = length(b);
if (la > lb)
b = [b zeros(1, la-lb)]; % 补零以对齐长度
elseif (lb > la)
a = [a zeros(1, lb-la)];
end
ps = roots(a); % 极点
zs = roots(b); % 零点
mx = max(abs([ps' zs' 0.95])) + 0.5;
clf;
axis([-mx mx -mx mx]); axis('equal'); hold on;
w = [0 : 0.01 : 2*pi];
plot(cos(w), sin(w), '.'); % 画单位圆
plot([-mx mx], [0 0]); plot([0 0], [-mx mx]);
plot(real(ps), imag(ps), 'rx', 'markersize', 10); % 极点用叉号
plot(real(zs), imag(zs), 'ko', 'markersize', 10); % 零点用圆圈
hold off;
4. 因果稳定性 (Causality & Stability)
- 因果性：如果系统的单位脉冲响应满足 $h[n]=0, n<0$，则系统是因果的。对于因果系统，ROC（收敛域）在某个圆的外部。
- 稳定性：如果系统单位脉冲响应绝对可和 $\sum |h[n]| < \infty$，则系统是稳定的。这意味着 ROC 必须包含单位圆。
- 结论：一个因果稳定的 LTI 系统，其所有极点必须位于单位圆内（$|p_k| < 1$）。
实践交互演示：极点位置与系统稳定性
移动极点观察冲激响应
调节极点的模值（半径r）和角度（theta），观察单位圆内的极点位置以及对应的时域冲激响应 $h[n]$。
假设单极点系统： $H(z) = \frac{1}{1 - p z^{-1}}$，则 $h[n] = p^n u[n]$
Z平面 (零极点图)
时域冲激响应 h[n]
- 当 $r < 1$ (极点在圆内)：$h[n]$ 衰减趋于0，系统稳定。
- 当 $r = 1$ (极点在圆上)：$h[n]$ 等幅振荡或恒定，系统临界稳定。
- 当 $r > 1$ (极点在圆外)：$h[n]$ 发散趋于无穷，系统不稳定。
- 角度 $\theta$ 决定了震荡的频率。
实践示例讲解
例题 1：FIR 系统的响应
题目：描述因果 LTI 系统 $y[n] = 0.5x[n] + x[n-1] + 2x[n-2]$。如果输入信号为 $x=[1, 2, 3, 4, 0, 0, ...]$，求系统响应。
a = [1]; b = [0.5, 1, 2];
x = [1, 2, 3, 4, zeros(1,10)]; % 扩展输入以便观察
y = filter(b, a, x);
图示：例题1系统响应 y[n] (有限长，前后各补2个0)
例题 2：IIR 系统的响应
题目：描述系统 $y[n] - 0.8y[n-1] = 2x[n]$。输入信号同上，求系统响应。
a = [1, -0.8]; b = [2];
x = [1, 2, 3, 4, zeros(1,20)];
y = filter(b, a, x);
图示：例题2系统响应 y[n] (无限长，画24个点)
实践练习一：差分方程与响应
任务
对于以下三个差分方程，请在 MATLAB 中分别写出其系数向量 a 和 b，并使用 filter 函数求出当输入为单位阶跃信号 $x[n]=u[n]$（取前10个点）时系统的响应 $y[n]$，最后用 stem 画出响应图。
- $y[n] = 0.5x[n] + x[n-1] + 2x[n-2]$
- $y[n] = 0.8y[n-1] + 2x[n]$
- $y[n] - 0.8y[n-1] = 2x[n-1]$
结果解读
将你生成的三个图像与下方给出的预期图像进行对比，它们是否一致？请思考并回答：
- 为什么第一个系统的响应在 $n=2$ 之后就稳定在一个常数？（提示：思考输入 $u[n]$ 的特点和FIR滤波器的"记忆"长度）
- 为什么第二个系统的响应会持续增长，并逐渐趋近于一个稳定值？这个稳定值大约是多少？
预期图像
1) 响应图（FIR，20个点）
2) 响应图（IIR，25个点）
3) 响应图（IIR，25个点）
实践练习二：零极点图绘制与分析
任务
对于以下三个系统，请在 MATLAB 中确定其系统函数 $H(z)$ 的分子分母系数 b 和 a，并使用提供的 dpzplot 函数绘制它们的零极点图。
- $H(z) = \frac{z^3 - z}{z^3 + 3z + 2}$
- $y[n] + y[n-1] + 0.5y[n-2] = x[n]$
- $y[n] - 1.25y[n-1] + 0.75y[n-2] - 0.125y[n-3] = x[n] + 0.5x[n-1]$
结果解读
对比你绘制的零极点图与下方的预期图，它们是否一致？根据你绘制的图，逐一判断每个系统的稳定性（稳定、临界稳定、或不稳定），并解释你的判断依据（即**极点**与**单位圆**的位置关系）。
预期图像
1) 零极点图
2) 零极点图
3) 零极点图
实践练习三：系统分析与逆向设计
背景
本题旨在检验你对零极点、系统稳定性以及差分方程之间关系的深刻理解。我们将从一个理想的系统特性出发，反向构建并分析它。
任务一：理想谐振器设计与验证
假设我们想设计一个数字谐振器，其谐振角频率为 $\omega_0 = \pi/4$。为了实现无衰减的持续振荡，我们将一对极点精确地放置在单位圆上，即 $p_{1,2} = e^{\pm j\pi/4}$。假设系统没有有限零点（分子为1）。
- 推导：请推导出该系统的差分方程。（提示：系统函数分母 $D(z) = (1 - p_1 z^{-1})(1 - p_2 z^{-1})$。利用欧拉公式 $e^{j\theta} + e^{-j\theta} = 2\cos(\theta)$ 来简化系数。）
- 仿真：使用
dpzplot绘制其零极点图，并计算和绘制该系统前50个点的单位冲激响应 $h[n]$。
任务二：参数化分析与稳定性
实际应用中，临界稳定系统很危险。因此，我们通常会引入一个衰减因子 $r$（$0 < r < 1$），将极点变为 $p_{1,2} = r \cdot e^{\pm j\pi/4}$。现在，我们将任务一的差分方程参数化为：
$y[n] - \sqrt{2} \cdot r \cdot y[n-1] + r^2 \cdot y[n-2] = x[n]$
- 分析：请问参数
K的取值范围是什么时，这个系统是因果稳定的？ - 关联：
K的值与极点模长r之间有什么数学关系？ - 仿真：设定
K=0.9，画出新系统的零极点图和单位冲激响应。
结果解读
你的仿真结果是否与下方的预期图像一致？请思考并回答：
- 为什么任务一的冲激响应是等幅振荡，而任务二（当`K=0.9`时）的响应是衰减振荡？
- 这个从"等幅"到"衰减"的变化，在Z平面的零极点图上是如何体现的？
预期图像
理想谐振器响应 (K=1)
阻尼振荡器响应 (K=0.9)
实践练习四：自定义函数与系统特性
背景
本题要求你手动实现一个简单的递归方程求解器，并通过它来深入理解初始条件、线性度以及稳定性的概念。考虑差分方程：$y[n] = ay[n-1] + x[n]$
任务一：函数实现
编写一个自定义MATLAB函数 y = diffeqn(a, x, yn1) 来计算上述因果系统。其中 a 是系数，$x$ 是输入序列，$yn1$ 是初始状态 $y[-1]$ 的值。
任务二：零状态响应分析 (a=1)
设定 $a=1, y[-1]=0$。使用你的函数分别计算当输入为 $x_{1n}=\delta[n]$ 和 $x_{2n}=u[n]$ 时的响应（$0 \le n \le 30$），并画出它们的 stem 图。
任务三：非零状态与线性度检验 (a=1)
设定 $a=1, y[-1]=-1$。计算当输入为 $x_{1n}=u[n]$ 和 $x_{2n}=2u[n]$ 时的响应 $y_1[n]$ 和 $y_2[n]$。然后，计算并画出 $(2y_1[n] - y_2[n])$ 的图像。
任务四：稳定性与初始条件 (a=0.5)
设定 $a=0.5, x=u[n]$。分别计算在 $y[-1]=0$ 和 $y[-1]=0.5$ 两种初始条件下系统的响应，并画图对比。
结果解读
将你生成的图像与下方的预期图像对比，它们是否一致？请重点回答：
- 为什么在任务三中，$2y_1[n] - y_2[n]$ 的结果不是恒等于0？这是否违背了线性系统的定义？
- 在任务四中，初始条件的不同对最终的系统稳态输出有影响吗？为什么？这说明了稳定系统的什么重要特性？