理论实验目的
在本实验中，我们将使用MATLAB对离散时间信号进行频域分析。本实验的主要目的是：
- 理解并掌握离散时间傅里叶变换（DTFT）的基本概念和性质
- 学习离散傅里叶变换（DFT）与DTFT之间的关系
- 利用快速傅里叶变换（FFT）计算离散时间序列的频谱
- 通过结果分析理解固定频率和时变频率（如语音信号）的数字信号频谱特点
- 理解线性卷积和循环卷积之间的关系，掌握FFT快速计算卷积的方法
- 培养频域分析能力，理解时域与频域的对应关系
频域分析是数字信号处理的核心内容之一。通过将时域信号变换到频域，我们可以更直观地观察信号的频率成分，这对于信号分析、滤波设计、通信系统等应用至关重要。
理论理论基础
1. 离散时间傅里叶变换（DTFT）
对于离散时间信号（DT）求其频域表达，使用DTFT，也就是离散时间傅里叶变换。此时的信号是一个离散的非周期的实数或复数序列。
DTFT分析式（正变换）：
$$X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]e^{-j\omega n}$$
其中 $\omega$ 为归一化角频率（弧度）
DTFT合成式（逆变换）：
$$x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega$$
- 连续性：$X(e^{j\omega})$ 是关于频率 $\omega$ 的连续函数
- 周期性：$X(e^{j\omega})$ 是以 $2\pi$ 为周期的周期函数，即 $X(e^{j(\omega+2\pi)}) = X(e^{j\omega})$
- 对称性：若 $x[n]$ 为实序列，则 $X(e^{j\omega})$ 满足共轭对称性
计算机实现的限制：
在计算机系统中，想要实现一个连续的数值变量是不可能的，所以对DTFT的任何数值实现有两个要求：
- $x[n]$ 必须具有有限长度（序列长度有限）
- $X(e^{j\omega})$ 只能在连续频率变量 $\omega$ 的有限数量的样本处计算（频率采样点有限）
在满足这两条要求的前提下，我们可以通过MATLAB来计算一个DT序列的频谱。实际上，如果 $x[n]$ 是有限的，$\omega$ 的数量也是有限的，我们就把DTFT离散化了，这就引出了DFT。
2. 离散傅里叶变换（DFT）
理论上DTFT分析方程的计算是从负无穷到正无穷进行求和，在计算机中是不可实现的，我们使用DFT，也就是离散傅里叶变换来进行谱分析。
DFT与DTFT的关系：
有限长序列的DFT结果包含了N个离散频率点处的DTFT结果，这些离散频率点等间隔地分布在区间 $[0, 2\pi)$ 内。如果离散频率点数量足够多，我们就可以通过DFT近似得到DTFT的结果。
频率采样：
为了计算效率，我们将连续频率变量 $\omega$ 所在的 $0$ 到 $2\pi$ 的周期范围内，等分 N 个点：
$$\omega_k = \frac{2\pi k}{N}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, N-1$$
DFT正变换：
$$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-j\frac{2\pi kn}{N}}, \quad k = 0, 1, \ldots, N-1$$
其中 $k$ 为频率索引，对应频率 $\omega_k = 2\pi k/N$
逆离散傅里叶变换（IDFT）：
$$x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k]e^{j\frac{2\pi kn}{N}}, \quad n = 0, 1, \ldots, N-1$$
频率分辨率：DFT的频率分辨率为 $\Delta f = F_s/N$，其中 $F_s$ 为采样频率。增加 $N$ 可以提高频率分辨率，使频谱更加精细。
零填充（Zero Padding）：在信号末尾补零可以增加DFT的计算点数 $N$，从而提高频率分辨率，使DFT结果更接近真实的DTFT。但需要注意，零填充并不增加新的信息，只是对DTFT进行更密集的采样。
3. 快速傅里叶变换（FFT）
FFT（Fast Fourier Transform）是计算DFT的一种高效算法，它将DFT的计算复杂度从 $O(N^2)$ 降低到 $O(N \log N)$。
MATLAB中的FFT函数：
% 如果 x 是包含 x[n] 的向量，0 ≤ n ≤ M-1
X = fft(x, N); % 计算N点DFT
% 计算x的DTFT的N个均匀间隔的样本，并存储在向量X中
重要说明：
- 零填充：如果 $N > M$（序列长度），fft 会自动在序列末尾补零
- 截断：如果 $N < M$，fft 会截取前 $N$ 个元素进行计算
- 频率范围：fft 函数计算区间 $[0, 2\pi)$ 中的DFT。要在区间 $[-\pi, \pi]$ 中计算，可以使用
fftshift函数进行移位 - 逆变换：
ifft函数可用于高效地计算IDFT
对于 $N=1024$ 点的DFT，直接计算需要约100万次复数乘法，而FFT只需要约1万次，计算效率提高约100倍！这使得实时信号处理成为可能。
4. 卷积定理
卷积定理是连接时域和频域的重要桥梁，在信号处理中有广泛应用。
时域卷积 ⟷ 频域相乘：
$$y[n] = x[n] * h[n] \quad \Longleftrightarrow \quad Y[k] = X[k] \cdot H[k]$$
其中 $*$ 表示卷积，$\cdot$ 表示点乘
线性卷积 vs 循环卷积：
| 特性 | 线性卷积 | 循环卷积 |
|---|---|---|
| 定义 | 两个有限长序列的卷积 | DFT域的点乘对应的时域操作 |
| 结果长度 | $L_1 + L_2 - 1$ | $\max(L_1, L_2)$ |
| MATLAB函数 | conv(x, h) | ifft(fft(x) .* fft(h)) |
| 关系 | 补零到 $L_1 + L_2 - 1$ 后，循环卷积等于线性卷积 | |
直接使用FFT计算的是循环卷积，而非线性卷积。要使循环卷积等于线性卷积，必须对两个序列都补零至少到长度 $L_1 + L_2 - 1$。
实践交互式信号频谱分析
实时信号生成器与频谱分析器
调整参数观察时域信号与其频谱的关系
- 正弦/余弦波的频谱是单一频率分量（冲激）
- 方波包含基频和奇次谐波分量
- 增加DFT点数 $N$ 可以提高频率分辨率，使频谱更平滑
- 注意观察频谱的对称性（实信号的频谱共轭对称）
实践示例讲解
例题：单位脉冲信号的频谱分析
问题：有信号 $x[n] = \delta[n]$（单位脉冲信号），回答以下问题。
问题 1：手动计算 $x[n]$ 所对应的DTFT
解：
根据DTFT定义：
$$X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]e^{-j\omega n}$$
对于单位脉冲 $\delta[n]$：
$$X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta[n]e^{-j\omega n} = e^{-j\omega \cdot 0} = 1$$
结论：单位脉冲信号的DTFT恒等于1（幅度为1，相位为0），这意味着它包含所有频率成分，且各频率分量幅度相等。
问题 2：使用fft计算出8点DFT结果并画图显示
N = 8; % 假设计算8点DFT
n = 0:(N-1); % 时间索引：0到7
x = [1, zeros(1, 7)]; % 单位脉冲信号 δ[n]
k = 0:(N-1); % 频率索引：0到7
% 计算8点DFT
Xdft_8 = fft(x, N);
% 计算幅度谱和相位谱
mag_Xdft_8 = abs(Xdft_8); % 幅度谱
phase_Xdft_8 = angle(Xdft_8); % 相位谱（弧度）
% 绘制结果
figure;
subplot(2, 1, 1);
stem(k, mag_Xdft_8), grid on;
title('8点DFT幅度谱');
xlabel('频率索引 k'), ylabel('|X[k]|');
xlim([-0.2, 8.2]);
subplot(2, 1, 2);
stem(k, phase_Xdft_8), grid on;
title('8点DFT相位谱');
xlabel('频率索引 k'), ylabel('∠X[k] (弧度)');
xlim([-0.2, 8.2]);
结果分析：
- 幅度谱在所有频率点处均为1，验证了理论结果 $|X(e^{j\omega})| = 1$
- 相位谱为0，因为 $X(e^{j\omega}) = 1$ 是实数
- 这说明单位脉冲信号包含所有频率成分，且各频率分量幅度相等
问题 3：通过零填充提高频率分辨率
选择 $N = 100, 500, 1000$ 进行尝试，观察DFT是否接近DTFT。
% 原始信号
x = [1, zeros(1, 7)];
% 不同的DFT点数
N_values = [8, 100, 500, 1000];
figure;
for i = 1:length(N_values)
N = N_values(i);
k = 0:(N-1);
Xdft = fft(x, N);
mag_Xdft = abs(Xdft);
subplot(2, 2, i);
if N <= 100
stem(k, mag_Xdft), grid on;
else
plot(k, mag_Xdft), grid on; % N较大时用plot避免点重叠
end
title(sprintf('%d点DFT幅度谱', N));
xlabel('k'), ylabel('|X[k]|');
end
- $N=8$ 时：只有8个离散频率点，频谱较粗糙
- $N=100$ 时：频率点增加，频谱变得更平滑
- $N=500, 1000$ 时：频谱非常平滑，逼近连续的DTFT
- 所有情况下幅度均为1，验证了理论结果
结论：增加DFT点数（通过零填充）可以提高频率分辨率，使DFT更好地逼近DTFT。但要注意，这并不增加新的信息，只是对DTFT进行更密集的采样。
数字频率 $\omega$ 与 DFT索引 $k$ 的关系：
$$\omega_k = \frac{2\pi k}{N} \quad \text{（归一化角频率，弧度）}$$
或者用Hz表示（假设采样频率为 $F_s$）：
$$f_k = \frac{kF_s}{N} \quad \text{（实际频率，Hz）}$$
因此，DFT的第 $k$ 个点对应的归一化频率为 $2\pi k/N$ 弧度。
实践练习一：指数序列的频谱分析
题目
设有离散时间序列 $x[n] = 0.7^n$，$0 \leq n \leq 7$
1 求出 $x[n]$ 所对应DTFT的解析式。
提示：利用几何级数求和公式 $\sum_{n=0}^{N-1} r^n = \frac{1-r^N}{1-r}$
2 根据例题计算出8点DFT（$0 \leq k \leq 7$）并画出幅度相位谱。
3 根据例题计算出16点DFT（$0 \leq k \leq 15$）并画出幅度相位谱。
4 根据例题计算出128点DFT（$0 \leq k \leq 127$）并画出幅度相位谱。
注意：数据较多时使用 plot 函数代替 stem 函数。
5 观察第4题和第1题的结果，数字频率 $\omega$ 和DFT中 $k$ 的关系是什么？
实践练习二：卷积定理的验证
题目
设有两序列 $x[n] = [1, 1, 1, 1]$，$y[n] = [1, 1, 1, 1]$
1 对 $x$ 和 $y$ 做线性卷积（使用 conv 函数），把卷积结果用 stem 函数画出来。
2 手动计算 $x$ 和 $y$ 之间的圆周卷积结果。
提示：圆周卷积定义为 $z[n] = \sum_{m=0}^{N-1} x[m]y[(n-m) \bmod N]$，$n = 0, 1, 2, 3$
3 分别计算 $x$ 和 $y$ 的DFT，结果保存在 Xk 和 Yk 中。对结果做点乘，也就是计算 $Zk = Xk .* Yk$。对 Zk 求逆离散傅里叶变换（使用 ifft 函数）。如果你得到复数结果，使用 real 函数提取实数部分。确认你的结果与第2题获得的结果一致。使用 stem 函数绘制结果，观察结果中有多少个样本数和第1题中的结果一致？
4 对 $x$ 和 $y$ 尾部填零。首先对 $x$ 和 $y$ 分别添加一个零，重复第2题和第3题。有多少个样本和第1题的结果是一致的？需要补充多少零才能使结果和第1题中的完全一致，画图验证。
5 有两个新的序列 $u[n] = [-3, 5, 8, 6, 2, 2]$，$v[n] = [1, 1, 4, 2]$，重复以上问题并回答：对 $u$ 和 $v$ 各补充多少零可使得 $u$ 和 $v$ 之间的线性卷积结果等于循环卷积结果？
实践练习三：实际信号的频谱分析
题目
运行以下代码将 'tones.mat' 文件中的信号数据读取到MATLAB中，这个信号里面包含了多个不同频率的声音。
s = load('tones.mat');
x = s.y1;
变量 $x$ 现在就是声音信号。
1 计算 $x$ 所对应的DFT，假设 $N=25$。用 stem 函数画出幅度谱，你观察到了多少个主要频率分量？
2 对 $x$ 补零（调整 $N$ 值）并重新计算DFT的结果，你是否观察到了更多的频率分量？它们具体的频率是多少？尝试画出 $x$ 的图像，思考理解为什么要将时间信号变换到频域进行分析。
实践练习四：编写自定义DFT函数
题目
写一个自定义函数 X = MyDFT(x, N) 用以计算序列 $x$ 所对应的DFT。
函数要求：
- $N$ 的长度可能和序列真实长度 $M$ 不同
- 如果 $N > M$，则函数应该在 $x$ 的末尾补充零
- 如果 $N < M$，则应截取前 $N$ 段进行计算
- 写完后可以和MATLAB自带 fft() 函数进行比较
- 可以用 randn 函数创建随机测试向量
DFT定义：
$$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-j\frac{2\pi kn}{N}}, \quad k = 0, 1, \ldots, N-1$$
任务 编写 MyDFT 函数，并用多个测试用例验证其正确性（与 fft 函数比较）。比较两者的计算时间，分析效率差异。
实验总结
核心知识点
| 概念 | 关键要点 | 应用 |
|---|---|---|
| DTFT | 连续频率，周期 $2\pi$，理论分析工具 | 理解信号频率特性 |
| DFT | 离散频率，DTFT的采样版本 | 计算机数值计算 |
| FFT | 快速计算DFT，$O(N \log N)$ 复杂度 | 实时信号处理 |
| 零填充 | 提高频率分辨率，不增加新信息 | 精细频谱分析 |
| 卷积定理 | 时域卷积 ⟷ 频域相乘 | 快速卷积计算 |
常见问题
Q1: 为什么需要FFT，DFT不够用吗？
A: DFT和FFT计算结果相同，但FFT效率高得多。对于 $N=1024$，FFT比DFT快约100倍。在实时处理中，FFT是必需的。
Q2: 零填充会增加新的信息吗？
A: 不会。零填充只是对DTFT进行更密集的采样，使频谱看起来更平滑，但不会创造新信息。
Q3: 如何选择合适的DFT点数 $N$？
A: 一般原则：$N$ 应 $\geq$ 信号长度 $M$；若要提高频率分辨率，可增大 $N$；FFT在 $N$ 为2的幂次时最快。